Драгоценные камни
Главная / Интересное

Различие в том, что в данном случае эти точки будут располагаться не вдоль прямой, а вдоль некоторой кривой (рис. 4). И, как в предыдущем случае, значения этой функции будут существовать не при всех значениях x и c, а только при таких, которые допускают рациональные значения функции. При других значениях x и c график функции будет обрываться, не будет иметь продолжения в виде непрерывно (!) расположенных точек, вставляемых между рациональными точками, т.е. функция будет разрывной. Чтобы устранить этот разрыв, нужно расширить множество рациональных чисел до множества действительных чисел. При этом точки графика, с точки зрения стандартного анализа, будут располагаться абсолютно вплотную друг к другу, т.е. функция станет непрерывной.

Однако мы уже имеем представление о нестандартных и, в частности, бесконечно малых числах, поэтому не можем согласиться с непрерывностью данного графика. Подчеркиваю - не с непрерывностью данной функции, а именно с непрерывностью данного графика. Сама эта функция является непрерывной, поскольку определена при всех значениях x и c, но вот ее график, рассматриваемый как самостоятельный геометрический объект, уже может давать повод для разговоров об изолированности его точек друг от друга, наличия между ними промежутков, заполняемых некими особыми точками, которые уже нельзя отождествить с действительными числами. Как мы уже выяснили, эти точки можно отождествить с бесконечно малыми числами, расширяющими множество действительных чисел до множества гипердействительных чисел.

Разумеется, такое расширение действительных чисел нельзя считать строгим, по крайней мере, в контексте предыдущих расширений. Его можно было бы сделать строгим, если бы я привел такую функцию y=f(x, c), которая была бы определена не при всех действительных значениях x и c. Вообще говоря, таких функций сколько угодно, но есть ли среди них те, которые позволяют переводить действительные числа в гипердействительные числа, я пока что не знаю. К примеру, функция y=(sin x)/x не определена при x=0, но никакими гипердействительными числами здесь и "не пахнет". В стандартном анализе непрерывность этой функции восстанавливают тем, что переходят от непосредственного значения функции в точке x=0 к ее пределу. (Такой способ называется "раскрытием неопределенностей вида y=(f(x))/0"). Но предел функции y=(sin x)/x при x>0 равен единице, поэтому в данном случае она ничем нам помочь не может. (Однако погодите! Далее я покажу, что разрывные функции имеют самое непосредственное отношение к тем конечным нестандартным числам, которые я ищу).

Можно подойти к этой проблеме и с другой стороны. Поскольку все расширения натуральных чисел возникают в операциях, обратных операциям сложения, умножения и возведения в степень (т.е. в операциях вычитания, деления и извлечения корня), то нужно искать такую операцию стандартного анализа, которая является обратной операции предельного перехода. (Интуитивно это понятно, поскольку понятие бесконечно малых и бесконечно больших чисел теснейшим образом связано с этой операцией через бесконечно малые и бесконечно большие величины стандартного анализа). Такая операция в стандартном анализе есть - это интегрирование функций. (Она является обратной по отношению к операции дифференцирования, представляющей собой ни что иное, как нахождение предела отношения приращения функции к приращению аргумента при устремлении последнего к нулю. Или, более коротко, y'=lim?x>0?y/?x. Здесь ?y, ?x - приращения функции и аргумента соответственно).

Функция, получающаяся в результате интегрирования какой-то другой функции, называется "первообразной" (по отношению к исходной функции). На первый взгляд, эта функция не может быть разрывной в силу того факта, что разрывные функции не имеют производных в точках разрыва, поэтому и интегралы с такими первообразными, по идее, не должны существовать. Но операция интегрирования - это вполне самостоятельная операция и допускает достаточную произвольность подынтегральной функции (как и другие обратные операции, благодаря чему в них и могут возникать новые числа). В стандартном анализе, например, рассматриваются несобственные интегралы от функций, имеющих особенности и, частности, точки разрыва. При этом исходный интеграл разбивается на частичные интегралы от участков функции между двумя соседними особенностями, и в качестве результирующего интеграла рассматривается сумма таких частичных интегралов. Но можно ли между такими частичными интегралами (точнее, между непрерывными участками интегрируемой функции) "втиснуть" бесконечно малые числа, честно говоря, я не знаю. (Хотя, когда я перейду к следующей модели нестандартных чисел, я проделаю нечто подобное).

23 авг 2015

Копирование запрещено! Почему?
Получить ссылки на эту страницу.

Появились вопросы, замечания, дополнения? Пожалуйста, напишите комментарий:
Ваше имя
Комментарий
Длина текста:
введите число с картинки
Правила прочитал(а)



См. также:

Далее в разделе Интересное: Интергалы

Какой раздел сайта тебе нравится больше?
Пожалуйста, выскажи своё мнение, какую тематику стоит развивать.

Голосование запущено 25 мая 2015, приняли участие 22 человека.



Нам пишут:
16 июн 2017
олег: хочу перстень гранат в серебре с бриллиантами . подходит ли для скорпиона.Или с нейтральными ... (к статье 'Камни и зодиак')

03 мар 2017
Александр: Турмалин хамелеонит оливкового цвета при повороте камня меняет оттенки от бесцветного до почти ... (к статье 'Турмалин')

10 фев 2017
татьяна: Интересует при нагревании, какой запах источае оливин? (к статье 'Оливин')

18 янв 2016
Святослав: Чего только не начитаешся, пока ищешь, где из булыжника сделать геометрическую фигуру) (к статье 'Огранка')


Сейчас читают: опал и кошачий глаз сочетание, огранка камня в домашних условиях, виды клейм 56пробы, Вид замка: визорный, тигровый глаз совместимость с камнем каким?