Драгоценные камни
Главная / Интересное

Проблема в том, что для установления конкретных свойств этих функций может не хватить знаний даже у профессионального математика, не говоря уже обо мне. Может быть, конечно, некоторые из этих функций уже известны, но я ничего об этом не знаю. В той же книге Успенского, например, ничего об этом не говорится и даже более, в ней свойства нестандартных функций подгоняются под свойства стандартных функций.

Как вы могли заметить, такой подход ничего нам не дает; автор просто распространяет действие стандартных функций на гипердействительные числа. Правда среди таких функций могут найтись и те, которые нам нужны, но последний абзац (в приведенной цитате) исключает эту возможность, поскольку нужные нам функции, имеющие гипердействительные решения, могут не иметь действительных решений.

Конечно, кое-какие соображения о свойствах этих функций у меня есть. Дело в том, что график функции, устанавливающей соответствие между действительными и гипердействительными числами, можно получить, изменяя соответствующим образом систему координат, в которой рассматривается эта функция. Например, график функции, устанавливающей соответствие между действительными и бесконечно малыми числами, можно получить, растягивая до бесконечности интервал между нулем и следующим действительным числом на оси ординат. Любая (!) функция, рассматриваемая в такой системе координат, будет устанавливать соответствие между действительными и бесконечно малыми числами. И наоборот, если аналогичным образом мы растянем этот интервал на оси абцисс, то любая функция, рассматриваемая в таких координатах, будет устанавливать соответствие между бесконечно малыми и действительными числами. Наконец, если аналогичным образом мы растянем эти интервалы сразу на оси абциcc и оси ординат, то любая функция в этих координатах будет устанавливать соответствие между бесконечно малыми и бесконечно малыми числами.

Однако при этом возникают вопросы. Прежде всего, как на этих графиках изображается неархимедовость бесконечно малых чисел? Если строить на этих осях обычные графики (например, графики элементарных функций), то ясно, что сами по себе (относительно друг друга) эти числа вполне допускают выполнение аксиомы Архимеда, и запрещают они ее только при сравнении с действительными числами. Это означает, что обычные графики на этих осях можно строить только тогда, когда и ось абцисс, и ось ординат представляют бесконечно малые числа. (Или когда обе они представляют действительные числа). Если же одна из них представляет действительные, а другая - бесконечно малые числа, то обычные графики строить на них уже нельзя. Если можно вообще... Существуют и другие вопросы (например, непрерывна или прерывна последовательность бесконечно малых чисел на этих осях?), но я ограничусь этим, поскольку ответов на них у меня все равно нет.

Как вы могли заметить, разглядывание графиков функций в "микроскоп" - это то же самое, что и одновременное увеличение оси абцисс и оси ординат этих графиков в бесконечное количество раз. (Точнее, в кратное бесконечному количество раз, если мы совмещаем "телескоп" с "микроскопом" или просто усиливаем увеличение, чтобы различить бесконечно малые более высокого порядка). Проблема в том, что и у Успенского, и у меня, бесконечно малые числа вводятся в эти графики изначально, а не с помощью специальной функции.

Выход из этого тупика я нашел в том, что стал рассматривать функции, задаваемые различными формулами на разных частях области своего определения. У таких функций очень легко обеспечить свойство разрывности в любой точке. Примером таких функций является функция Дирихле y=D(x):
D(x)=| 1 (если x - рациональное число)
| 0 (если x - иррациональное число).

График этой функции состоит из рациональных точек прямой, параллельной оси абцисс и пересекающей ось ординат в точке 1, а также из иррациональных точек прямой, совпадающей с осью абцисс (рис. 7). (Напоминаю, что множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел настолько велики, что их вполне достаточно для такого заполнения числовой шкалы, чтобы мы перестали видеть промежутки между точками этих чисел).

По аналогии с функцией Дирихле, можно составить такую функцию, областью определения которой являются не только действительные, но и гипердействительные числа. Например:
f(x)=| d (если x - рациональное число)
| ? (если x - иррациональное число)
(d - действительное число, ? - бесконечно малое число).

График этой функции очень похож на график функции Дирихле, с той лишь разницей, что прямая f(x)=? не совпадает с осью абцисс, а проходит по ее "верхнему краю". Однако этот пример ничего нам не дает, поскольку здесь мы не получаем бесконечно малые числа с помощью действительной функции, а изначально вводим их в функцию.

Поэтому составим другую функцию:
f(x)=| x-1 (если x>0)
| x+1 (если x<0).

График этой функции представляет собой две наклонные прямые; левая прямая обрывается перед точкой y=+1 (поскольку для этой половины графика x?0), а правая - в точке y=?1 (рис. 8). В точке x=0 функция испытывает разрыв. Это при том условии, что мы ограничиваем область ее определения только действительными числами. Но если мы расширим область определения данной функции до гипердействительных чисел, то она станет непрерывной. При этом мы должны ввести в нашу функцию еще одно условие:
f(x)=| x-1 (если x>0)
|[-1,1) (если x=?)
| x+1 (если x<0).
(? - бесконечно малое число, [-1,1)- полуинтервал, не содержащий точку (1,0)).

Как видим, на протяжении некоторого бесконечно малого отрезка длиной ?, заключенного между нулевой точкой оси абцисс и ближайшей к ней отрицательной действительной точкой, линия графика дважды изменит свое направление, соединяя разорванные ветви. Причем ординатами данного отрезка могут быть как действительные, так и гипердействительные числа. Это означает, что мы получили функцию, которая переводит гипердействительные (бесконечно малые) числа в действительные и гипердействительные (бесконечно малые и конечные) числа. (Поскольку при введении в область определения нашей функции бесконечно малых чисел в ней автоматически появляются и конечные гипердействительные числа. Более того, в силу тех соотношений, которые существуют между бесконечно малыми и бесконечно большими числами, область определения нашей функции должна охватывать и бесконечно большие числа!)

А теперь, после того, как мы уже расширили множество действительных чисел до множества гипердействительных чисел, перепишем нашу функцию в следующем виде:
f(x)=| x-c (если x>0)
|[-c,c) (если x=?)
| x+c (если x<0).
(c - стандартное число, ? - бесконечно малое число, [-c,c)- полуинтервал, не содержащий точку (c,0)).

Если с=1, то данная функция совпадает с предыдущей. Если теперь устремить c к нулю, то половинки наклонных прямых на предыдущем графике начнут "съезжаться" к точке y=0. Но поскольку мы уже имеем в своем арсенале гипердействительные и, в частности, бесконечно малые числа, то остановим это "съезжание" на бесконечно малом расстоянии от данной точки. При этом визуально мы получим обычный непрерывный график функции y=x, который только под бесконечно большим увеличением обнаруживает излом вблизи данной точки. Если мы сейчас перейдем обратно к действительным числам, то получим абсолютно непрерывный график функции y=x.

Отсюда следует, что любую непрерывную действительную функцию в действительном (!) смысле можно считать разрывной функцией. По-настоящему непрерывными эти функции могут считаться только в гипердействительном смысле, когда точки их разрывов соединяются бесконечно малыми гипердействительными изломами. (Точнее, точки их разрывов могут соединяться как с помощью изломов, так и без них, с помощью бесконечно малого гладкого продолжения действительной части функции. Подобные неоднозначности в сшивании точек разрывов графиков функций возникают и на бесконечно больших концах гипердействительной системы координат. Определение подобных неоднозначностей - это, по моему мнению, и есть наиболее содержательная часть нестандартного анализа. В третьей главе я постараюсь осветить этот вопрос более подробно). Разрывные же действительные функции в гипердействительном смысле представляют собой те же непрерывные функции, только у них длина основного гипердействительного излома имеет конечную или бесконечную величину.

А теперь "немного" изменим граничные условия, для чего перепишем нашу функцию в следующем виде:
f(x)=| x-c (если x>0)
|[-c,c] (если x=0)
| x+c (если x<0).

Здесь c - по-прежнему положительное действительное число, но наличие знака равенства во всех условиях радикально меняет ситуацию, поскольку теперь ордината графика функции (=функциональный закон) в точке x=0 становится неопределенной. Подчеркну еще раз: неопределенной в данном случае становится ордината графика функции, сохраняющей свою непрерывность в точке x=0. Это означает, что с отрезка графика [?c, c] невозможно опустить перпендикуляр на ось ординат так, чтобы попасть в какое-то определенное действительное число (точнее, в соответствующую точку оси ординат). Им (перпендикуляром) можно попасть в любое число этой части оси ординат.

Более того, мы не можем даже сказать, что данный перпендикуляр является перпендикуляром, поскольку положение его начала совершенно неопределено, в силу неопределенности функционального закона, определяющего положение графика данной функции в точке x=0. Положение его конца вполне определено для данного конкретного случая (опускания "перпендикуляра") и не определено только для всех случаев, но положение его начала нельзя считать определенным даже для данного случая. При этом отрезки, на которые начало "перпендикуляра" делит данный отрезок графика, становятся равноправными друг с другом и со всем отрезком нрафика. Это означает, что я получил не равное нулю число (измеряющее данный отрезок графика), при делении которого получается то же самое число.

Такие взаимоотношения между графиком функции и осями координат, на мой взгляд, являются вполне естественными (при заданных условиях, конечно). С одной стороны, они сохраняют прежнюю структуру координатных осей (что очень важно, поскольку эта структура отражает геометрию реального пространства-времени), а с другой стороны, они вводят новые числа (назовем их "неопределенными числами"), обеспечивающие непрерывность нашей функции в точке x=0 совершенно иным способом, нежели известные гипердействительные числа (назовем их "гипердействительными числами по Успенскому"). Это хорошо видно из граничных условий нашей функции, которые просто не допускают в точке x=0 и ее окрестностях никаких бесконечно малых чисел, толкуемых по Успенскому. (Точнее, в данном случае они просто не нужны для обеспечения непрерывности нашей функции).

Есть, правда, одна "маленькая" проблема. Дело в том, что, получая свои неопределенные числа, я нарушил правила стандартного анализа, в котором специально оговаривается, что функция f(x) не может иметь в точке x=a два разных предела. Даже если она (функция) в этой точке претерпевает разрыв (т.е. имеет разные правый и левый пределы), то это означает только то, что либо данная точка не принадлежит области определения функции, либо имеет ординату, отличную от ординат правого и левого пределов, либо ее ордината совпадает с ординатой только одного из пределов. У меня же получилось, что функция
f(x)=| x-c (если x>0)
|[-c,c] (если x=0)
| x+c (если x<0).

имеет разные правый и левый пределы, имеющие одну и ту же абциссу, принадлежащую области определения функции.

Для того, чтобы решить эту проблему, введем в нашу функцию еще одно условие: c> 0. При этом ее график будет приближаться к графику функции y=x и при c=0 визуально совпадет с последним. Я намеренно сказал здесь "визуально", поскольку, если наш график сохраняет свои прежние свойства на отрезке [?c, c], то даже при c=0 точку графика с ординатой y=0 нельзя считать одной точкой. "Внутри" этой точки все также проходит линия нашего графика с прежними неопределенными свойствами, только в данном случае эта линия сжимается до точечного размера (точнее, до размеров точки y=0). И пока мы не снимаем с нашей функции указанные условия, точку ее графика с ординатой y=0 (при условии c=0) нужно считать двумя точками.

Отсюда следует, что указанные условия определяют свойства не координатных осей, в которых рассматривается наша функция, а самой линии ее графика. В стандартном анализе данный факт считается тривиальным, а нетривиальность его обнаруживается именно тогда, когда рассматриваемые в этих координатах функции требуют дублирования точек их графиков. (Например, когда мы вводим в эти функции разные правый и левый пределы, имеющие одну и ту же абциссу). Потому что при этом мы вынуждены допускать дублированность точек и самих координатных осей. (Например, когда они сами рассматриваются как графики функций).

Поэтому, если мы допускаем "сшивание" (точнее, восстановление непрерывности) разрывных функций с помощью моих неопределенных чисел, то должны допускать и существование у них двух разных пределов, имеющих одну и ту же абциссу, и наоборот, если мы допускаем существование у этих функций двух разных пределов, то в качестве "довеска" к ним (и при наличии требования непрерывности этих функций (автоматически получаем мои неопределенные числа.

23 авг 2015

Копирование запрещено! Почему?
Получить ссылки на эту страницу.

Появились вопросы, замечания, дополнения? Пожалуйста, напишите комментарий:
Ваше имя
Комментарий
Длина текста:
введите число с картинки
Правила прочитал(а)



См. также:

Далее в разделе Интересное: Хаусдорф

Какой раздел сайта тебе нравится больше?
Пожалуйста, выскажи своё мнение, какую тематику стоит развивать.

Голосование запущено 25 мая 2015, приняли участие 22 человека.



Нам пишут:
16 июн 2017
олег: хочу перстень гранат в серебре с бриллиантами . подходит ли для скорпиона.Или с нейтральными ... (к статье 'Камни и зодиак')

03 мар 2017
Александр: Турмалин хамелеонит оливкового цвета при повороте камня меняет оттенки от бесцветного до почти ... (к статье 'Турмалин')

10 фев 2017
татьяна: Интересует при нагревании, какой запах источае оливин? (к статье 'Оливин')

18 янв 2016
Святослав: Чего только не начитаешся, пока ищешь, где из булыжника сделать геометрическую фигуру) (к статье 'Огранка')


Сейчас читают: опал и кошачий глаз сочетание, огранка камня в домашних условиях, виды клейм 56пробы, Вид замка: визорный, тигровый глаз совместимость с камнем каким?