Драгоценные камни
Главная / Интересное

Графики функций, построенные на бесконечно малых координатных осях, неотличимы от графиков этих же функций, построенных на действительных координатных осях. Отличаются они только друг относительно друга.

С другой стороны, пространство моих неопределенных чисел является нехаусдорфовым пространством. Точнее, таковым является объединенное пространство неопределенных и действительных чисел, поскольку для одних только неопределенных чисел невозможно ввести понятие пространства (чуть ниже я объясню, почему). Если любое расстояние между действительными точками этого пространства "измеряется" неопределенными числами (как в графиках разрывных функций, "сшиваемых" с помощью этих чисел), то ясно, что никакие две его точки не могут иметь непересекающиеся окрестности.

Что касается невозможности введения в множестве неопределенных чисел понятия пространства, то она объясняется тем, что для этих чисел не существует понятия точки, на которую опирается понятие пространства. В любую обычную (действительную) точку можно "втиснуть" сколько угодно неопределенных объектов, представляющих геометрически данные числа, и наоборот, один неопределенный объект может охватывать сколько угодно обычных точек. (Более того, я даже подозреваю, что "множество" неопределенных чисел является на самом деле совокупностью этих чисел, а не множеством или классом. В следующих главах я постараюсь рассмотреть этот вопрос более подробно).

Таким образом, предлагаемое мною расширение множества действительных чисел является нехаусдорфовым его расширением. Этим оно отличается от расширения данного множества в нестандартном анализе, которое является хаусдорфовым. В то же время, мое расширение является таким же неархимедовым, как и в нестандартном анализе, только определение его неархимедовости выражает уже другой, более общий факт.

Поясню это при помощи формул. Пусть ? обозначает неопределенное число. Тогда условие неархимедовости этих чисел должно, по идее, записываться так:
?+?+?+...<1.
(Я специально не приписываю здесь индексы неопределенным числам, поскольку
разные неопределенные числа неотличимы друг от друга).

Но поскольку эти числа (точнее, соответствующие им неопределенные объекты) могут фиксироваться только на действительных отрезках и не могут фиксироваться на отдельных действительных точках (я не противоречу здесь самому себе, поскольку ранее я уже сказал, что если данные числа проецируются в действительную точку, то значит эта точка состоит, как минимум, из двух точек), то данное условие должно записываться так:
0
Ясно, что такое определение неархимедовости эквивалентно определению бесконечно малых чисел в книге Успенского (в котором левая часть неравенства просто опускается, поскольку перед этим заранее оговаривается положительность данных чисел). Но в нашем случае эта формула выражает всего лишь факт непринадлежности крайних точек интервалу (0, 1), который "измеряется" неопределенными числами. Такое же толкование допускает и определение бесконечно малых чисел в книге Успенского. Неархимедовость же тех и других состоит в том, что на данном интервале можно уместить как угодно много этих чисел. Причем неопределенных чисел можно уместить на нем не только много, но и бесконечно много, тогда как для бесконечно малых чисел в книге Успенского это предположение уже неверно.

Гораздо ближе к неопределенным числам те бесконечно малые числа, которые я получил в начале данной главы. (Помните, я отождествлял их с терминусами Дж. Бруно?) Последних также можно уместить бесконечно много на интервале (0, 1). Однако есть и существенное отличие: там, где фигурируют неопределенные числа, функция обязательно имеет два разных предела с одной и той же абциссой; там же, где фигурируют мои бесконечно малые числа, функция при данной абциссе может иметь только один предел. Следовательно, пространство последних является таким же хаусдорфовым, как и пространство бесконечно малых чисел в книге Успенского.

Собственно говоря, в этом и состоит главное различие данных моделей. Обе они являются топологическими (поскольку обе я получил из графиков функций), в обеих пространство между двумя действительными точками можно рассматривать как отрезок, "измеряемый" неопределенными числами. Но в одной из них последовательность действительных точек может иметь два разных предела, а в другой - только один, что и обуславливает нехаусдорфовость этого пространства в первой модели и хаусдорфовость во второй. (Напоминаю, что существование у разрывной функции двух разных пределов автоматически подразумевает наличие у неопределенных чисел способности перемешивать точки действительного отрезка, "сшивающего" разрыв).

Вот теперь, после того, как все более-менее встало на свои места, можно снова вернуться к конкретному виду функций, допускающих расширение в гипердействительные числа. В качестве примера рассмотрим функцию y=|x|, график которой изображен на рисунке 11. Производная этой функции существует во всех точках, кроме точки x=0. Как известно, геометрически производная функции f(x) в точке x=c интерпретируется как касательная к кривой графика этой функции в данной точке. Для функции y=|x| касательная к линии ее графика во всех точках, кроме точки x=0, совпадает с этой линией, а в точке x=0 положение этой касательной не определено. В стандартном анализе считается, что в этой точке производная у данной функции просто отсутствует, но если перейти к неопределенным числам, то непрерывность ее производной можно восстановить. При этом, если оставаться в рамках геометрической интерпретации производной, то неопределенным числом будет описываться величина угла (точнее, углового коэффициента) между касательной к линии графика и самой этой линией.

Аналогичным образом обстоит дело и с алгебраической интерпретацией производной данной функции. Как я уже говорил, алгебраически производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при устремлении последнего к нулю. Или, более коротко, y'=limx>0(|x|?|0|)/(x?0). Нетрудно заметить, что предел этого отношения существует и равен +1. Это в том случае, если мы устремляем x к нулю "со стороны" положительных значений; если же мы устремляем его к нулю со стороны отрицательных значений, то предел этого отношения будет равен -1. Таким образом, получаем, что правый и левый пределы данного отношения существуют, но не равны. В стандартном анализе такие пределы называются "односторонними производными функции". Если они не равны, то считается, что в данной точке производная функции испытывает разрыв. Но если перейти к неопределенным числам, то непрерывность производной будет восстановлена. При этом неопределенным числом будет измеряться отрезок [?1; +1] на шкале действительных чисел.

В заключение данной главы хочу сказать, что как числа мои "неопределенные числа" могут рассматриваться лишь постольку, поскольку они могут фиксироваться только на действительных числах. Понимаю, что эпитет "неопределенные" в приложении к числам выглядит дико, за что мне, по всей видимости, еще достанется от Технаря. Но разве не также дико в приложении к числам воспринимались когда-то эпитеты "отрицательный", "иррациональный", "мнимый"? Поэтому я все же рискну оставить за ними исходное название...

23 авг 2015

Копирование запрещено! Почему?
Получить ссылки на эту страницу.

Появились вопросы, замечания, дополнения? Пожалуйста, напишите комментарий:
Ваше имя
Комментарий
Длина текста:
введите число с картинки
Правила прочитал(а)



См. также:

Далее в разделе Интересное: Логика

Какой раздел сайта тебе нравится больше?
Пожалуйста, выскажи своё мнение, какую тематику стоит развивать.

Голосование запущено 25 мая 2015, приняли участие 22 человека.



Нам пишут:
21 сен 2017
Francisjaw: !!!Здравствуйте! Вас интересуют клиентские базы данных? Ответ на Email: voevodin.cheslav@mail.ru (к статье 'Кулоны')

16 июн 2017
олег: хочу перстень гранат в серебре с бриллиантами . подходит ли для скорпиона.Или с нейтральными ... (к статье 'Камни и зодиак')

03 мар 2017
Александр: Турмалин хамелеонит оливкового цвета при повороте камня меняет оттенки от бесцветного до почти ... (к статье 'Турмалин')

10 фев 2017
татьяна: Интересует при нагревании, какой запах источае оливин? (к статье 'Оливин')


Сейчас читают: опал и кошачий глаз сочетание, огранка камня в домашних условиях, виды клейм 56пробы, Вид замка: визорный, тигровый глаз совместимость с камнем каким?